La ciencia en general no es muy utilizada en cine y literatura, pero algunas veces éstas han sido usadas para contar una historia, sin entrar demasiado en si han utilizado mucho o poco cualquier disciplina científica a tratar. Aún así encontramos películas como una mente maravillosa o el indomable Will Hunting en el ámbito cinematográfico o libros como Zig Zag, Fortaleza Gigital o incluso Ángeles y Demonios dónde la ciencia está muy presente.
Hoy me centraré en tres películas: El Indomable Will Hunting, Una Mente Maravillosa y Academia Rushmore. Por lo que a mí respecta, vi las dos primeras y me gustaron bastante, aunque muy a mi pesar, no es que entrasen demasiado en lo estrictamente matemático, en este caso. Sin embargo, en Academia Rushmore sí que aparecen más momentos estelares matemáticos, pero aún no he tenido el placer de verla, aunque me han informado que es digna de ver.
Academia Rushmore (Rushmore, Wes Anderson, EE. UU., 1998)
Si alguien nos dijera que tratáramos de resolver la ecuación más difícil del mundo, probablemente nos lo tomaríamos a guasa. ¿Quién podría determinar cuál es ésa ecuación? ¿Cómo seríamos nosotros capaces de llevar a cabo esa tarea? ¿Cómo animarnos a ello? Si somos alumnos, es fácil responder a la ´ultima cuestión: “Si alguien de vosotros soluciona el problema, me encargaré personalmente de que no vuelva a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”. Motivador, aunque poco edificante, al menos desde el punto de vista de un matemático.
En realidad, no es para tanto. El cine acostumbra a ser a veces demasiado grandilocuente en sus expresiones, más aún si estamos ante una comedia llena de dobles sentidos. Si echamos un vistazo al fotograma, se trata de calcular el área encerrada por la elipse de semiejes a y b, respectivamente. Una cuestión elemental de cálculo integral en una variable de un curso preuniversitario, o como mucho, del primer curso de una ingeniería o una licenciatura. Su resolución, con todo detalle, es sin embargo destacable para lo que se suele estilar en el medio cinematográfico.
Si alguien nos dijera que tratáramos de resolver la ecuación más difícil del mundo, probablemente nos lo tomaríamos a guasa. ¿Quién podría determinar cuál es ésa ecuación? ¿Cómo seríamos nosotros capaces de llevar a cabo esa tarea? ¿Cómo animarnos a ello? Si somos alumnos, es fácil responder a la ´ultima cuestión: “Si alguien de vosotros soluciona el problema, me encargaré personalmente de que no vuelva a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”. Motivador, aunque poco edificante, al menos desde el punto de vista de un matemático.
En realidad, no es para tanto. El cine acostumbra a ser a veces demasiado grandilocuente en sus expresiones, más aún si estamos ante una comedia llena de dobles sentidos. Si echamos un vistazo al fotograma, se trata de calcular el área encerrada por la elipse de semiejes a y b, respectivamente. Una cuestión elemental de cálculo integral en una variable de un curso preuniversitario, o como mucho, del primer curso de una ingeniería o una licenciatura. Su resolución, con todo detalle, es sin embargo destacable para lo que se suele estilar en el medio cinematográfico.
Una Mente Maravillosa (A beautiful Mind, Ron Howard, EE.UU., 2001)
Una mente maravillosa está basada en hechos reales. Habla de la vida de John F. Nash, matemático y economista estadounidense, extraordinariamente dotado para el análisis matemático que hace sus estudios de doctorado en la universidad de Princeton, donde desarrolla su famosa teoría de juegos. Durante esta época, antes de decidirse por el tema que va a tratar en su tesis doctoral, pasa temporadas de altos y bajos a causa de que no encuentra “su idea original” para llevarla a cabo. Nash coincide en esos años con Albert Einstein, motivo por el cual se obsesiona para que su tesis sea una revolución, delante del prestigio y atención que acapara Einstein.
Cunado acaba dicha tesis, trabaja para la corporación RAND, interesado en él por sus conocimientos sobre la teoría de juegos para aplicarlos a la estrategia militar. Ello desencadena, entre otras cosas, en una esquizofrenia que le tiene apartado de la comunidad científica mientras está en tratamiento psiquiátrico. Cuando éste finaliza, se reincorpora al trabajo y en 1994, recibe el Premio Nobel de Economía, en reconocimiento a su labor investigadora en torno a la teoría de juegos, junto a John Harsanyi y a Reinhard Selten.
La película en sí muestra el espíritu de superación de John Forbes Nash para “curarse” de su enfermedad y el espíritu investigador en el campo de las matemáticas y las repercusiones que tuvo en economía.
Una mente maravillosa está basada en hechos reales. Habla de la vida de John F. Nash, matemático y economista estadounidense, extraordinariamente dotado para el análisis matemático que hace sus estudios de doctorado en la universidad de Princeton, donde desarrolla su famosa teoría de juegos. Durante esta época, antes de decidirse por el tema que va a tratar en su tesis doctoral, pasa temporadas de altos y bajos a causa de que no encuentra “su idea original” para llevarla a cabo. Nash coincide en esos años con Albert Einstein, motivo por el cual se obsesiona para que su tesis sea una revolución, delante del prestigio y atención que acapara Einstein.
Cunado acaba dicha tesis, trabaja para la corporación RAND, interesado en él por sus conocimientos sobre la teoría de juegos para aplicarlos a la estrategia militar. Ello desencadena, entre otras cosas, en una esquizofrenia que le tiene apartado de la comunidad científica mientras está en tratamiento psiquiátrico. Cuando éste finaliza, se reincorpora al trabajo y en 1994, recibe el Premio Nobel de Economía, en reconocimiento a su labor investigadora en torno a la teoría de juegos, junto a John Harsanyi y a Reinhard Selten.
La película en sí muestra el espíritu de superación de John Forbes Nash para “curarse” de su enfermedad y el espíritu investigador en el campo de las matemáticas y las repercusiones que tuvo en economía.
El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE.UU., 1997)
Es de las pocas películas que haya visto donde las matemáticas hayan tenido un papel bastante destacado dentro del film, necesario para desarrollar la historia que el director quiere contar.
Trata de un chico llamado Will que trabaja en la construcción y en el servicio de limpieza de la universidad, porque no encuentra un sitio mejor remunerado y accesible acorde a sus estudios. Aún así, este chico esconde algo que nadie sabe menos él y un amigo suyo, que es la gran capacidad de retener y comprender todo lo que haya podido leer a lo largo de su vida. No solo domina el ámbito matemático, sino que hace lo correspondiente en los campos de la economía y la historia.
Will, por casualidad, encuentra un reto matemático en una pizarra de un pasillo que en aquel momento está limpiando con un problema escrito que teóricamente tienen que solucionar los estudiantes de matemáticas, pero que no estaba resuelto. Él lo resuelve y pensando el profesor que había sido un alumno suyo el que había solucionado el problema, plantea otro pero teóricamente más difícil. Evidentemente lo resuelve pero en esta ocasión es descubierto por el profesor.
Días más tarde, tras haber podido contactar con Will, le proponen estudiar matemáticas a condición de ver un psicólogo, debido a la indisciplina que éste tiene.
A partir de aquí, la película se vuelve más común es decir, trata de Will estudiando matemáticas pero encuentra una chica con la que al principio conectan muy bien, que posteriormente pasan una “crisis” y que al final todo acaba bien.
Para esta película, tengo la suerte de contar con un artículo que trata del apartado matemático de la película, pero no puedo decir quién me lo dejó porque no me acuerdo y desgraciadamente, tampoco sé la fuente. Aún así, se lo enseñé a un profesor de matemáticas hace ya tiempo y corroboró que estaba bien, así que escribiré el problema inicial y su solución.
Es de las pocas películas que haya visto donde las matemáticas hayan tenido un papel bastante destacado dentro del film, necesario para desarrollar la historia que el director quiere contar.
Trata de un chico llamado Will que trabaja en la construcción y en el servicio de limpieza de la universidad, porque no encuentra un sitio mejor remunerado y accesible acorde a sus estudios. Aún así, este chico esconde algo que nadie sabe menos él y un amigo suyo, que es la gran capacidad de retener y comprender todo lo que haya podido leer a lo largo de su vida. No solo domina el ámbito matemático, sino que hace lo correspondiente en los campos de la economía y la historia.
Will, por casualidad, encuentra un reto matemático en una pizarra de un pasillo que en aquel momento está limpiando con un problema escrito que teóricamente tienen que solucionar los estudiantes de matemáticas, pero que no estaba resuelto. Él lo resuelve y pensando el profesor que había sido un alumno suyo el que había solucionado el problema, plantea otro pero teóricamente más difícil. Evidentemente lo resuelve pero en esta ocasión es descubierto por el profesor.
Días más tarde, tras haber podido contactar con Will, le proponen estudiar matemáticas a condición de ver un psicólogo, debido a la indisciplina que éste tiene.
A partir de aquí, la película se vuelve más común es decir, trata de Will estudiando matemáticas pero encuentra una chica con la que al principio conectan muy bien, que posteriormente pasan una “crisis” y que al final todo acaba bien.
Para esta película, tengo la suerte de contar con un artículo que trata del apartado matemático de la película, pero no puedo decir quién me lo dejó porque no me acuerdo y desgraciadamente, tampoco sé la fuente. Aún así, se lo enseñé a un profesor de matemáticas hace ya tiempo y corroboró que estaba bien, así que escribiré el problema inicial y su solución.
Su enunciado dice así:
Dado el grafo
Encontrar:
1) la matriz de adyacencia A
2) la matriz que da el número de trayectorias de longitud tres
3) la función que genera las trayectorias de i con j
4) la función que genera las trayectorias de 1 con 3
Dado el grafo
Encontrar:
1) la matriz de adyacencia A
2) la matriz que da el número de trayectorias de longitud tres
3) la función que genera las trayectorias de i con j
4) la función que genera las trayectorias de 1 con 3
1)
Recordemos que se define matriz de adyacencia de un grafo a la matriz booleana cuyo elemento (i, j) vale 1 si el vértice vi es adyacente a vj , y 0 si no lo es. En el caso de un multigrafo con bucles, la matriz no tiene porque ser booleana.
En nuestro caso los aii = 0, porque no hay bucles. El vértice 1 y el 2 se unen por un solo lado, por lo que a12 = a21 = 1, como les sucede a los vértices 1 y 4 y al 2 con el 4. En cambio hay dos lados entre el segundo y el tercer vértice, por lo que a23 = a32 = 2. En definitiva la matriz de adyacencia será
2)
2) El número de trayectorias de longitud tres viene dado por
Su interpretación es clara. Por ejemplo, el a11 indica que existen dos trayectorias de longitud tres que comienzan en el primer vértice y acaban en él: 1–2–4–1 y 1–4–2–1. Las tres que llevan el primer vértice al cuarto (a14) son: 1–4–1–4, 1–2–1–4 y 1–4–2–4. Un poco más laborioso sería encontrar An que dé el número de trayectorias de longitud n, aunque en absoluto complicado. Habría que calcular primero los autovalores de A (que diagonaliza porque es simétrica). El polinomio característico resulta p(λ) = λ4 − 7λ2 − 2λ + 4, una de cuyas raíces es inmediata, λ = −1.
Las otras tres, también reales, tiene una expresión más engorrosa, aunque cualquier asistente matemático (DERIVE, por ejemplo) nos los proporciona, o en su defecto, una aproximación numérica. Después el teorema de Cayley-Hamilton nos facilita una evaluación recursiva de las potencias de A que nos evita casi por completo los cálculos más tediosos
3)
Por no extendernos demasiado, digamos simplemente que la función generatriz vendrá dada por la siguiente expresión (DERIVE, Matemática o Maple efectúan rápidamente la operación cuyo resultado es una matriz 4×4 cuyos elementos son funciones). Obsérvese la relación entre la matriz del sumatorio y la de adyacencia A anterior
La función que genera las trayectorias de los vértices 1 al 3 es el elemento f13 de la matriz anterior, esto es,
Dada A la matriz de adyacencia del grafo G, las entradas anij de las potencias de A, An, proporcionan el número de trayectorias (se pueden repetir vértices y aristas) de longitud n que conectan el vértice i con el vértice j. Dichos valores coinciden con los sucesivos coeficientes de los elementos de la función generatriz. As´ı en el ejemplo anterior, el número de trayectorias de longitud m que unen los vértices 1 y 3 viene dado por el correspondiente coeficiente de zm.
El nivel de dificultad del ejercicio no es por tanto acorde con lo manifestado por Lambeau, ya que un alumno que haya seguido un curso elemental de teoría de grafos puede resolverlo sin excesivas complicaciones. Dos referencias interesantes sobre teoría de grafos son [C–Z] y [HAR].
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