Pinzeladas de relatividad

Según la física newtoniana un objeto se mueve a través del espacio en línea recta, con velocidad uniforme, a menos que sobre él actúe una fuerza. Así por ejemplo, un planeta se moverá en línea recta si no fuera por la fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre él.

En física relativista un objeto también se mueve en línea recta, con velocidad uniforme, a menos que actúe una fuerza, pero ahora se trata de una línea recta', entendida como el camino más corto, en el espaciotiempo y no en el espacio tridimensional. Esto es incluso cierto en presencia de gravedad. La razón es que para Einstein la gravedad no es una fuerza sino una distorsión del espaciotiempo debida a la presencia de una masa. El campo gravitatorio se manifiesta en la geometría del espaciotiempo. Así, el Sol no ejerce una fuerza sobre el planeta sino que curva el espaciotiempo a su alrededor, de modo que el planeta, que sigue el camino más corto (geodésica) describe una trayectoria curva en el espacio tridimensional.

Es imposible visualizar la curvatura del espaciotiempo (cuatro dimensiones) pero podemos representar un mundo bidimensional análogo, una superficie, en la que estuvieran confinados objetos que siguen el camino más corto posible. Dos ejemplos, curvatura fija: las rutas de los aviones sobre la superficie terrestre (círculos máximos); curvatura variable (más parecida a un campo gravitatorio): el camino más corto entre dos puntos en una sábana elástica deformada por una bola pesada. Las ecuaciones de campo de Einstein expresan la curvatura en función de la distribución de masa y energía en cada punto del espaciotiempo.

Una de las grandes predicciones de la teoría de Einstein es que no solo los objetos masivos sufren la acción de la gravedad sino también los rayos de luz, que siguen el camino más corto en un espacio curvo.

Para analizar esta sección conviene añadir que la teoría de Einstein describe las interacciones gravitatorias más (una mayor cantidad de fenómenos) y mejor (con mayor precisión) que la de Newton, aportando además una nueva visión del mundo. La teoría de Newton es de todas formas una excelente aproximación para objetos que no se muevan muy rápido y estén sometidos a campos gravitatorios débiles (es incluso suficiente para gobernar una nave espacial a través de nuestro sistema solar).

Newton y Mach discrepaban sobre el origen de la inercia. Newton creía que las fuerzas de inercia (la fuerza centrífuga por ejemplo) aparecen cuando la aceleración tiene lugar respecto al .espacio absoluto., mientras que para Mach estaban causadas por la aceleración respecto a la masa de todos los cuerpos celestes. No se trata de una distinción metafísica sino de algo que se puede intentar discernir experimentalmente: si Mach tuviera razón la presencia de grandes masas podría producir peque.nos cambios en las fuerzas de inercia observadas en sus cercanas, mientras que si Newton tuvieran razón no se observar ningún efecto.

Einstein se consideraba a sí mismo machiano. Sin embargo el principio de equivalencia propone una tesis intermedia entre la de Newton y la de Mach: los observadores inerciales (sistemas de coordenadas localmente en caída libre) vienen determinados por el campo gravitatorio local que a su vez depende de toda la materia del universo, cercana o lejana, a través de las ecuaciones de campo; sin embargo, una vez que nos encontramos en un sistema inercial las leyes de movimiento no están afectadas por la presencia de masas. Por ejemplo, un observador en la Tierra (sistema en caída libre hacia el Sol) no puede detectar ninguna fuerza inercial en la dirección del Sol. Dicho de otra manera: si no hay masas cerca, las coordenadas de un observador inercial vienen dadas por la distribución de masas de todo el universo (de acuerdo con Mach) por lo que no es de extrañar que se encuentre en reposo o en movimiento uniforme respecto a las estrellas fijas; y si hay una gran masa cerca (como nos ocurre con el Sol) entonces ´esta modificaría las coordenadas del observador inercial de modo tal que en su caída libre hacia la masa cercana tampoco puede sentir ningún efecto gravitatorio (lo cual es contrario al principio de Mach).

La cuestión es por tanto si la presencia de masas cercanas altera las leyes de movimiento o si no produce más efecto que determinar las coordenadas de los sistemas inerciales. En 1961 dos grupos independientes llevaron a cabo sendos experimentos para intentar determinar si se observaba algún cambio en la masa inercial de una partícula cuando era acelerada hacia el centro galáctico o en dirección contraria. Los resultados fueron negativos, lo que favorece al principio de equivalencia frente al principio de Mach.

Matemáticas y cine

La ciencia en general no es muy utilizada en cine y literatura, pero algunas veces éstas han sido usadas para contar una historia, sin entrar demasiado en si han utilizado mucho o poco cualquier disciplina científica a tratar. Aún así encontramos películas como una mente maravillosa o el indomable Will Hunting en el ámbito cinematográfico o libros como Zig Zag, Fortaleza Gigital o incluso Ángeles y Demonios dónde la ciencia está muy presente.

Hoy me centraré en tres películas: El Indomable Will Hunting, Una Mente Maravillosa y Academia Rushmore. Por lo que a mí respecta, vi las dos primeras y me gustaron bastante, aunque muy a mi pesar, no es que entrasen demasiado en lo estrictamente matemático, en este caso. Sin embargo, en Academia Rushmore sí que aparecen más momentos estelares matemáticos, pero aún no he tenido el placer de verla, aunque me han informado que es digna de ver.

Academia Rushmore (Rushmore, Wes Anderson, EE. UU., 1998)

Si alguien nos dijera que tratáramos de resolver la ecuación más difícil del mundo, probablemente nos lo tomaríamos a guasa. ¿Quién podría determinar cuál es ésa ecuación? ¿Cómo seríamos nosotros capaces de llevar a cabo esa tarea? ¿Cómo animarnos a ello? Si somos alumnos, es fácil responder a la ´ultima cuestión: “Si alguien de vosotros soluciona el problema, me encargaré personalmente de que no vuelva a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”. Motivador, aunque poco edificante, al menos desde el punto de vista de un matemático.

En realidad, no es para tanto. El cine acostumbra a ser a veces demasiado grandilocuente en sus expresiones, más aún si estamos ante una comedia llena de dobles sentidos. Si echamos un vistazo al fotograma, se trata de calcular el área encerrada por la elipse de semiejes a y b, respectivamente. Una cuestión elemental de cálculo integral en una variable de un curso preuniversitario, o como mucho, del primer curso de una ingeniería o una licenciatura. Su resolución, con todo detalle, es sin embargo destacable para lo que se suele estilar en el medio cinematográfico.

Una Mente Maravillosa (A beautiful Mind, Ron Howard, EE.UU., 2001)

Una mente maravillosa está basada en hechos reales. Habla de la vida de John F. Nash, matemático y economista estadounidense, extraordinariamente dotado para el análisis matemático que hace sus estudios de doctorado en la universidad de Princeton, donde desarrolla su famosa teoría de juegos. Durante esta época, antes de decidirse por el tema que va a tratar en su tesis doctoral, pasa temporadas de altos y bajos a causa de que no encuentra “su idea original” para llevarla a cabo. Nash coincide en esos años con Albert Einstein, motivo por el cual se obsesiona para que su tesis sea una revolución, delante del prestigio y atención que acapara Einstein.

Cunado acaba dicha tesis, trabaja para la corporación RAND, interesado en él por sus conocimientos sobre la teoría de juegos para aplicarlos a la estrategia militar. Ello desencadena, entre otras cosas, en una esquizofrenia que le tiene apartado de la comunidad científica mientras está en tratamiento psiquiátrico. Cuando éste finaliza, se reincorpora al trabajo y en 1994, recibe el Premio Nobel de Economía, en reconocimiento a su labor investigadora en torno a la teoría de juegos, junto a John Harsanyi y a Reinhard Selten.

La película en sí muestra el espíritu de superación de John Forbes Nash para “curarse” de su enfermedad y el espíritu investigador en el campo de las matemáticas y las repercusiones que tuvo en economía.

El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE.UU., 1997)

Es de las pocas películas que haya visto donde las matemáticas hayan tenido un papel bastante destacado dentro del film, necesario para desarrollar la historia que el director quiere contar.

Trata de un chico llamado Will que trabaja en la construcción y en el servicio de limpieza de la universidad, porque no encuentra un sitio mejor remunerado y accesible acorde a sus estudios. Aún así, este chico esconde algo que nadie sabe menos él y un amigo suyo, que es la gran capacidad de retener y comprender todo lo que haya podido leer a lo largo de su vida. No solo domina el ámbito matemático, sino que hace lo correspondiente en los campos de la economía y la historia.

Will, por casualidad, encuentra un reto matemático en una pizarra de un pasillo que en aquel momento está limpiando con un problema escrito que teóricamente tienen que solucionar los estudiantes de matemáticas, pero que no estaba resuelto. Él lo resuelve y pensando el profesor que había sido un alumno suyo el que había solucionado el problema, plantea otro pero teóricamente más difícil. Evidentemente lo resuelve pero en esta ocasión es descubierto por el profesor.

Días más tarde, tras haber podido contactar con Will, le proponen estudiar matemáticas a condición de ver un psicólogo, debido a la indisciplina que éste tiene.

A partir de aquí, la película se vuelve más común es decir, trata de Will estudiando matemáticas pero encuentra una chica con la que al principio conectan muy bien, que posteriormente pasan una “crisis” y que al final todo acaba bien.

Para esta película, tengo la suerte de contar con un artículo que trata del apartado matemático de la película, pero no puedo decir quién me lo dejó porque no me acuerdo y desgraciadamente, tampoco sé la fuente. Aún así, se lo enseñé a un profesor de matemáticas hace ya tiempo y corroboró que estaba bien, así que escribiré el problema inicial y su solución.

Su enunciado dice así:

Dado el grafo

Encontrar:

1) la matriz de adyacencia A
2) la matriz que da el número de trayectorias de longitud tres
3) la función que genera las trayectorias de i con j
4) la función que genera las trayectorias de 1 con 3

1)

Recordemos que se define matriz de adyacencia de un grafo a la matriz booleana cuyo elemento (i, j) vale 1 si el vértice vi es adyacente a vj , y 0 si no lo es. En el caso de un multigrafo con bucles, la matriz no tiene porque ser booleana.

En nuestro caso los aii = 0, porque no hay bucles. El vértice 1 y el 2 se unen por un solo lado, por lo que a12 = a21 = 1, como les sucede a los vértices 1 y 4 y al 2 con el 4. En cambio hay dos lados entre el segundo y el tercer vértice, por lo que a23 = a32 = 2. En definitiva la matriz de adyacencia será
2)

El número de trayectorias de longitud tres viene dado por

Su interpretación es clara. Por ejemplo, el a11 indica que existen dos trayectorias de longitud tres que comienzan en el primer vértice y acaban en él: 1–2–4–1 y 1–4–2–1. Las tres que llevan el primer vértice al cuarto (a14) son: 1–4–1–4, 1–2–1–4 y 1–4–2–4. Un poco más laborioso sería encontrar An que dé el número de trayectorias de longitud n, aunque en absoluto complicado. Habría que calcular primero los autovalores de A (que diagonaliza porque es simétrica). El polinomio característico resulta p(λ) = λ4 − 7λ2 − 2λ + 4, una de cuyas raíces es inmediata, λ = −1.

Las otras tres, también reales, tiene una expresión más engorrosa, aunque cualquier asistente matemático (DERIVE, por ejemplo) nos los proporciona, o en su defecto, una aproximación numérica. Después el teorema de Cayley-Hamilton nos facilita una evaluación recursiva de las potencias de A que nos evita casi por completo los cálculos más tediosos

3)

Por no extendernos demasiado, digamos simplemente que la función generatriz vendrá dada por la siguiente expresión (DERIVE, Matemática o Maple efectúan rápidamente la operación cuyo resultado es una matriz 4×4 cuyos elementos son funciones). Obsérvese la relación entre la matriz del sumatorio y la de adyacencia A anterior

La función que genera las trayectorias de los vértices 1 al 3 es el elemento f13 de la matriz anterior, esto es,


Dada A la matriz de adyacencia del grafo G, las entradas anij de las potencias de A, An, proporcionan el número de trayectorias (se pueden repetir vértices y aristas) de longitud n que conectan el vértice i con el vértice j. Dichos valores coinciden con los sucesivos coeficientes de los elementos de la función generatriz. As´ı en el ejemplo anterior, el número de trayectorias de longitud m que unen los vértices 1 y 3 viene dado por el correspondiente coeficiente de zm.

El nivel de dificultad del ejercicio no es por tanto acorde con lo manifestado por Lambeau, ya que un alumno que haya seguido un curso elemental de teoría de grafos puede resolverlo sin excesivas complicaciones. Dos referencias interesantes sobre teoría de grafos son [C–Z] y [HAR].

Utilizando el cálculo para determinar pesos atómicos

Bien, hacía ya dos meses que no escribía una entrada en el blog, pero la universidad me ha tendio bastante ocupado y aunque lo sigo estando, en estar a una semana del comienzo de exámenes, los profesores dejan de ponernos el mismo volumen de faena para así tener más tiempo de libertad, aunque ¡vaya libertad! Sí que he podido pasarme de vez en cuando por algún blog y leer su entrada pero no comentar al repecto.

En fin, la entrada de hoy la dedicaré a explicar cómo determinar los pesos atómicos del Nitrógeno y del Oxígeno usando los pesos moleculares de seis óxidos de Nitrógeno.

Para poder hacerlo hay que contar con un sistema sobredeterminado, es decir, tener más datos, experimentales o no, y por tanto, más ecuaciones que incógnitas.

Los datos y cálculos realizados seran presentados en forma de imágenes, ya que será mejor para presentar las matrices utilizadas y los cálculos realizados con ellas.

Donde n = peso atómico del Nitrógeno, o = peso atómico del Oxígeno, A es la matriz que indica el número de átomos de N y O por óxido y b es la matriz que contiene los pesos moleculares de los óxidos.

De esta manera, solo tenemos que resolver el sistema normal siguiente:

Pues, lo que tenemos es:

Y los residuos:

Como ya habrán visto, acabamos de calcular los pesos atómicos del Nitrógeno y del Oxígeno con una precisión bastante grande, más que la que nos da la tabla periódica.

En toda ciencia, el cálculo numérico es imprescindible y en química, no iba a ser menos, por eso, creía interesante escribir una entrada sobre la determinación de estos pesos atómicos numéricamente, un pequeño ejemplo de la asignatura que curso actualmente en la carrera.

Bien, ahora empezaré a tener algo más de tiempo libre y espero que las entradas en este blog se actualicen más a menudo de lo que ha venido siendo estos últimos tiempos.

Un saludo a todos mis lectores!

Sigamos con un concurso más.

De acuerdo a las bases del concurso, si Roberto es el primero en solucionar el problema será el claro ganador del premio secreto, sino el nuevo ganador deberá contestar otra vez y siendo el primero para alzarse con la victoria. El problema dice así:

Un avión realiza un vuelo por encima del Ecuador con una velocidad de 900 km/h hacia el Este. Una de las azafatas, preocupada por mantener la línea, se pesa en pleno vuelo. En el viaje de vuelta, también por encima del Ecuador pero en dirección Oeste, se vuelve a pesar y descubre que la báscula marca 0.5 kg. más.

a) Ha engordado? Hay otras causas?

b) Podemos encontrar el peso de la azafata con esta información? Si es así, encuéntrenlo.

Datos: La velocidad del avión desde un sistema que no gira con la Tierra es diferente en el viaje de ida que en el de vuelta. La báscula marca la fuerza normal.

g= 9.8 m/s^2; 1 dia= 86400 segundos.

Suerte a todo el mundo.

El primer concurso de 2009 =)

Bien, volvamos un poco a la rutina de aquello llamado concurso, que tanto nos gusta a aquellos que poseemos un blog y a los que mínimamente nos gusta la ciencia. Aun así, contestar a Vicent diciéndole que estoy preparando la entrada de mecánica cuántica, pero como él y yo sabemos, empecé la universidad de nuevo, y tengo una asignatura llamada Química Física II que nos está dando queraderos de cabeza a más de uno, así que si no me ven aparecer por aquí, ya saben cuál es el motivo de mi ausencia.

Pues, allá va un divertido problema de física:

Se observa que al dejar caer en un pozo el sonido que se produce como consecuencia del xoque con el agua llega 3 segundos después del instante de lanzamiento. ¿Cuál será la profundidad a la que se encuentra la superfície del agua?

Datos: velocidad del sonido del aire: 337 m/s; g= 9.8 m/s^2

El concurso queda abierto hasta el viernes 27 de febrero a las 13:00 (hora Española.)

El premio es: mi reconocimiento de haber solucionado un problema que a simple vista es inofensivo y un premio secreto que será entregado a la persona que conteste 2 veces de manera correcta a dos concursos consecutivos.

Un saludo!

Sigamos con la diversión.

El último día dejamos escritas las propiedades más importantes de la cristalografía, antes de seguir con realmente las operaciones básicas cristalográficas que nos descubrirán los 16 grupos puntuales cristalográficos en el plano.

Aún así, la entrada de hoy la dedicaremos a introducir unos cuantos conceptos más que necesarios antes de ir a lo realmente la geometría cristalográfica, aunque, presentaremos ciertas partes más que interesantes sobre cálculos cristalográficos, que evidentemente, tienen su gracia.

Bueno, la divertida fotografía de Snoopy nos va a servir de mucho en nuestro intensivo de cristalografía para ver los siguientes conceptos. Como vemos, todos los elementos de Snoopy se repiten periódicamente, propiedad de los cristales que explicamos en la entrada anterior. A Snoopy le llamaremos el motivo.

Pero en lo que nos vamos a fijar ahora no es en la imagen de Snoopy sino en la nariz de Snoopy. La repetición periódica de la nariz , la llamaremos nudo.

Por tanto, definimos motivo y nudo:
Motivo: Porción que se repite periódicamente.
Nudo: Punto cualquiera asociado al motivo, elegido como origen de los vectores de traslación.

Estos dos conceptos van a introducir el postulado reticular: Todos estos nudos podemos expresarlos como combinación lineal de unos fundamentales, lo que llamaremos vectores fundamentales, dos vectores que son los de módulo más pequeño que los demás.

Por tanto, podríamos introducir un nuevo concepto relacionado con los vectores fundamentales que es el de las hileras fundamentales, que son aquel conjunto de nudos alineados que coincide con los vectores fundamentales, tal y como se muestra en la imagen.

Por tanto, comentado todo esto, puede introducirse las repercusiones que tiene a nivel tridimensional, que mejor comentaremos a través de las imágenes.

Tal y como se muestra en la siguiente imagen, en el espacio podemos dibujar los planos reticulares. Un plano que pasa por tres o más nudos, pasa a llamarse una familia de planos reticulares.

Ello dará lugar a la notación que vamos a utilizar para expresar estos planos, los índices de Miller, que fue mencionado en la introducción a la cristalografía.

Los índices de Miller, (hkl) son números que nos indican por dónde corta un plano respecto de los ejes, es decir, el plano (231) corta a: a/2, b/3 y c/3. Estos índices se caracterizan por ser primeros entre ellos y enteros, inversamente proporcionales a las distancias de corte con los ejes y se escriben entre paréntesis y sin comas entre ellos. Un índice 0, significaría que el plano es paralelo a uno de los ejes (a, b o c), según la posición que ocupen. Para poder tener más claro dichos conceptos, a continuación quedan algunas imágenes a fin de hacer más comprensible todo lo comentado.

Planos fundamentales.

Evidentemente, todo lo que estamos comentando tiene un objetivo final, que no es más la introducción del concepto clave: el paralelepípedo o celda fundamental, región del espacio que contiene toda la información del cristal, y que con solo estudiar ese trocito de cristal, queda estudiado éste en su totalidad.

El paralelepípedo o celda fundamental, queda determinado por diversos parámetros, los módulos de los ejes, a, b o c y los ángulos α, β y γ. El ángulo α es el que queda determinado por los los vectores b y c, β por los vectores a y c y γ por los vectores a y b.

Generalmente nos interesa saber el volumen de esta celda, y para ello, recurrimos a las matemáticas: sabemos que este volumen es el producto mixto de los tres vectores que siempre tienen que darnos. Para hacer más general la entrada, dejaré los dos métodos para calcular este volumen, de manera que la gente interesada en saber cómo hacerlo, puede mirar la imagen, y en caso de duda, preguntar, y para aquellos que quieran tener más la idea general, seguir leyendo.

Aun así, quedan muchas matemáticas que comentar, como la distancia entre dos puntos y el módulo de un vector, que aunque no le encontremos el sentido ahora, veremos para qué nos sirve más adelante. También queda escrito en imágenes.

Fíjese que el módulo del vector no queda igual definido que por ejemplo en física, pero hay que recordar que no estamos en física o en matemáticas y por tanto, los módulos de los vectores en cristalografía quedan definidos de esta manera.

Como verán, el blog empieza a recobrar vida, pero no solo eso, sino que a medida que pasan los días de entradas sobre cristalografía, esto va cada vez poniéndose más divertido.

Introducción a la cristalografía

La cristalografía es la ciencia que se encarga expresamente de estudiar la estructura interna de los cristales y todo lo que tenga que ver con el estado sólido de la materia. Es una ciencia un poco desconocida por la gente, digamos que es interdisciplinar, pero muy importante en el estudio de la ciencia en general, porque tiene muchas utilidades que a simple vista nos puede parecer que pertenecen a la otras ciencias, como la química, por ejemplo, pero que realmente tiene su base teórica en la cristalografía.

Si vamos por la calle, podemos fijarnos que muchos conceptos básicos de la cristalografía aparecen en la vida cotidiana, como la propiedad de la periodicidad, la simetría... Son conceptos y ideas que a simple vista nos parecen muy evidentes pero que en esta ciencia, tiene un papel muy destacado, digamos que son las bases de la cristalografía y que por lo general, se cumple siempre.
Para empezar, nos daremos una vuelta por la historia de esta ciencia y posteriormente daremos las bases de la cristalografía para así mañana poder profundizar en algunos aspectos, sencillos pero muy importantes relacionados con esta ciencia.

Los griegos, más concretamente Plinio llamaron cristal a un cristal de roca (el cuarzo).

Allá en el renacimiento, llamaron cristal a todos aquellos minerales con formas geométricas.

Steno (1686-1738) estudió la constancia de ángulos diedros en cristales de cuarzo.

Romé de l'Isle (1735-1790) determinó la ley de la constancia de ángulos.

Haüy (1747-1822) estudió la ley de los índices racionales, la molécula constituyente y la ley de simetría.

Mitscherlich (1794-1863) estudió el isomorfismo y el polimorfismo en los cristales.

Miller (1801-1870) indexó los sistemas cristalinos por primera vez. Los índices de Miller tienen una gran importancia en el estudio de los cristales, es básico conocer qué son y qué significan, en posteriores entradas se intentará dar una visión amplia sobre qué significan éstos.

Hesse (1796-1872) dio a conocer los 32 clases de grupos cristalinos existentes (simetría puntual).

Bravais (1811-1863) estudió y dio a conocer las 14 redes de simetría espacial.

Schoenfliess (1892 – 1928) Barlow (1845 – 1934) Fedorov (1853 -1919) estudiaron los 230 grupos espaciales.

Roëntgen (1845-1923) rayos X.

Von Laue (1879-1960) utilizó los rayos X para estudiar la estructura interna de los cristales (difracción por rayos X).

Edwald y Bragg: leyes de difracción de rayos X.

Bien, una vez expuesta un resumen de la historia de lo que ha sido hasta ahora la ciencia de la cristalografía, pasaremos a explicar las propiedades más importantes y sencillas de esta ciencia, que como vereis, no os sonaran nada extrañas a parte de dos o tres, que si que es posible que no os sean muy conocidas.

Invariancia: Dado un sistema termodinámico con unas condiciones de presión y temperatura determinados, existe una configuración cristalina de mínima energía.

Periodicidad: Es la propiedad fundamental de la cristalografía. A partir de un punto arbitrario en el espacio en cualquier dirección se observa una secuencia de átomos periódica característica que se repite infinitamente.

Simetría: La simetria nos hace equivalentes átomos, iones, moléculas, etc. La simetría tiene que ser compatible con la periodicidad.

Homogeneidad: Las propiedades de la materia cristalina son idénticas en cada una de sus partes. Des de un punto de vista microscópico se refleja en la existencia de entornos idénticos por los átomos que ocupan posiciones cristalograficamente equivalentes.

Anisotropía: Las propiedades de la materia cristalina varian con la dirección. Esto es consecuencia del hecho que la periodicidad a lo largo del cristal no tiene que ser igual en todas las direcciones.